Vysoké školy | Doučovanie z Matematiky

Vysoké školy

Osnova doučovania vysokoškolskej matematiky:

Matematická analýza 1 :

Vektorový priestor, lineárna závislosť a nezávislosť vektorov, báza a dimenzia, skalárny súčin. Matice, operácie s maticami, hodnosť matice, inverzná matica.

Determinanty, vlastnosti, výpočet. Riešenie systémov lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Cramerovo pravidlo. Vektory v trojrozmernom priestore, vektorový a zmiešený súčin a ich aplikácie.

Postupnosti reálnych čísel, limita postupnosti, číslo e. Funkcia jednej reálnej premennej, základné vlastnosti. Funkcie: polynomické, racionálne, goniometrické, cyklometrické, exponenciálne, logaritmické, hyperbolické.

Vlastnosti polynómov, rozklad polynómu v reálnom a komplexnom obore. Rozklad racionálnej lomenej funkcie na parciálne zlomky. Limita funkcie, spojitosť funkcie, vlastnosti spojitých funkcií na uzavretom intervale.

Derivácia funkcie, jej geometrický a fyzikálny význam. Dotyčnica a normála krivky. Derivovanie elementárnych funkcií, derivácie vyšších rádov. Diferenciál funkcie. Súvis derivácie a vlastností funkcií.

L` Hospitalovo pravidlo. Vyšetrovanie priebehu funkcie. Primitívna funkcia, neurčitý integrál. Základné integračné metódy: substitučná a per partes. Integrovanie racionálnych lomených funkcií.

Integrovanie niektorých iracionálnych a goniometrických funkcií. Integrovanie transcedentných funkcií.

Matematická analýza 2:

Určitý integrál a jeho aplikácie. Nevlasný integrál. Euklidov priestor En, základné topologické pojmy. Postupnosť bodov v En a jej limita. Funkcia n-premenných – základné vlastnosti, limita, spojitosť.

Parciálne derivácie funkcie n-premenných, diferenciál. Funkcia daná implicitne a jej derivácia. Lokálne a viazané extrémy. Vektorová funkcia, nabla operátor, gradient, divergencia, rotácia.

Kvadratické plochy, elementárne oblasti v E2 a E3. Definícia, vlastnosti, výpočet dvojných integrálov,trojných integrálov. Transformácia dvojných integrálov do polárnych súradníc, trojných do cylindrických a sférických súradníc.

Geometrické a fyzikálne aplikácie dvojných a trojných integrálov. Diferenciálne rovnice 1.rádu – základné pojmy, dif.rovnice separovateľné, homogéne, lineárne, Bernoulliho – aplikácie.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu –základné vlastnosti. Metóda variácie konštánt. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu s konštantnými koeficientami. Systémy diferenciálnych rovníc – základné pojmy, eliminačná metóda.

Lineárne diferenciálne systémy homogénne aj nehomogénne. Lineárne diferenciálne systémy s konštantnými koeficientami .

Číselné rady – základné pojmy. Kritéria konvergencie.Funkcionálne rady – základné pojmy, kritéria konvergencie. Mocninové rady.

Taylorov rad – rozvoj elementárnych funkcií do Taylorovho radu. Použitie Taylorovho radu.

Pravdepodobnosť, štatistika :

Základy kombinatoriky, náhodné javy, pojem pravdepodobnosti, geometrická pravdepodobnosť, podmienená a zložená pravdepodobnosť, veta o úplnej pravdepodobnosti a Bayesov vzorec.

Diskrétna a spojitá náhodná veličina, číselné charakteristiky, distribučná funkcia, hustota pravdepodobnosti. Rozdelenia (binomické, Poissonovo, geometrické, normálne, exponenciálne, chi-kvadrát, Studentovo, Fischer-Snedocorovo, Weibullovo). Spracovanie štatistického súboru.

Dvojrozmerný náhodný vektor, spojitý, diskrétny. Distribučná funkcia. Hustota pravdepodobnosti spojitého náhodného vektora. Číselné charakteristiky. Kritické hodnoty.

Odhady parametrov základného súboru: intervalové z normálnaho rozdelenia, bodový odhad parametrov metódou momentovou a metódou maximálnej vierohodnosti. Testovanie štatistických hypotéz .

Parametrické testy. Neparametrické testy: test nezávislosti a test zhody.

Regresná a korelačná analýza, regresná priamka, testy hypotéz o parametroch, intervaly spoľahlivosti, združené regresné priamky,koeficient determinácie, korelačný koeficient, index determinácie, korelácie, nelineárne regresné modely, závislosť kvadratická, exponenciálna.

Numerická matematika :

Numerické riešenie rovníc – separácia koreňov, prehľad metód. Iteračná a Newtonova metóda. Riešenie sústav lineárnych rovníc – prehľad metód, Jacobiho metóda. Interpolácia funkcie, interpolačný polynóm,

Lagrangeov a Newtonov tvar interpolačného polynómu . Numerické derivovanie. Aproximácia funkcie – metóda najmenších štvorcov.

Numerické integrovanie – lichobežníkové pravidlo. Numerické riešenie Cauchyho úlohy pre obyčajné diferenciálne rovnice – metódy Eulerova a Runge Kutta.

Komplexná premenná :Gaussova rovina, stereografické zobrazenie, Riemannova sféra. Postupnosti komplexných čísel. Číselné rady s komplexnými členmi.

Komplexná funkcia komplexnej premennej, jej limita a spojitosť. Komplexná funkcia reálnej premennej a krivky v Gaussovej rovine. Derivácia komplexnej funkcie komplexnej premennej, holomorfné funkcie.

Postupnosti a rady komplexných funkcií komplexnej premennej, mocninové rady. Elementárne funkcie komplexnej premennej a niektoré ich vlastnosti.

Krivkový integrál komplexnej funkcie komplexnej premennej, Cauchyho fundamentálna veta integrálneho počtu. Cauchyho integrálny vzorec a jeho zovšeobecnenie.

Taylorov rad, Laurentov rad a klasifikácia izolovaných singulárnych bodov holomorfnej funkcie. Cauchyho veta o rezíduách a jej použitie. Jordanova lema.

Fourierov integrál v reálnom a v komplexnom tvare. Fourierova transformácia, jej základné vlastnosti a použitie. Spätná Fourierova transformácia. Laplaceova transformácia a jej niektoré vlastnosti.

Použitie Laplaceovej transformácie. Waveletove transformácie.